Crítica, Revista Hispanoamericana de Filosofía, Volume 13, number 39, December 1981
Extensional Interpretation of General Sentences in Sixteenth-Century Ibero-American Logic
[]
Walter Redmond
Universidad Autónoma de Puebla

Abstract: Alonso de la Vera Cruz (1504-84), quien trabajó durante el llamado siglo de oro de la filosofía escolástica, presentó una interpretación extensional de la oración general (Recognitio Summularum, México, 1554). Si bien los lógicos habían hecho el mismo planteamiento desde la Edad Media, parece que en la escolástica tardía se desarrolló una teoría extensional en el mismo sentido en que se ha propuesto en el siglo XX, y en una formulación que funciona correctamente, al menos en contextos denumerables. Sin embargo, Alonso no es “nominalista”, pues integra en su filosofía de la lógica una tesis intensional de las propiedades (Dialectica Resolutio, México, 1554).
Según una teoría extensional, una oración que contiene términos generales es equivalente a un “análisis”: otra oración en que los términos individuales reemplazan los términos generales. Describimos brevemente y simplificamos el modo cómo Alonso concibió tal equivalencia, usando para ello un sistema sortal (cuantificación sobre individuos agrupados), formalización en que pueden expresarse sin problema los procedimientos sintácticos del autor.
Aunque Vera Cruz no se restringe de tal manera (trata explícitamente los problemas de los universos no manejables), suponemos aquí, para simplificar, un dominio con sólo tres individuos. Al primero convienen las dos propiedades F y G, y para indicar esto lo nombramos en el sistema “f1” y “g1”. El segundo individuo tiene las mismas propiedades y se nombra “f2” y “g2”. El tercero tiene G pero no F, y así se nombra “g3”.
Los nombres “f1” y “f2”, pues, son constantes individuales (Alonso habla de “términos singulares vagos”) que denotan los entes a los que se aplica la expresión general “F” (Alonso habla de “términos comunes”), y “g1”, “g2”, y “g3” son constantes que denotan los entes a los que se aplica la expresión general “G”. Introducimos las variables terminales “f” y “g” (Alonso no usa variables explícitamente), las cuales se extienden sobre los entes a los que se aplican las expresiones “F” Y “G” respectivamente, los cuantificadores universal “( )” y particular “[ ]” colocados alrededor de sus variables correspondientes (Alonso usa “todo”, “alguno”, “a”, “b”, etc.), las conectivas “˅”, “&”, y “≡” para la disyunción, conjunción, y coimplicación, el signo “/” para la negación, y varias reglas del cálculo funcional (Alonso propone una lógica proposicional aproximadamente como hoy en día).
Describimos informalmente algunos tipos de oraciones categóricas por medio de glosas (Alonso trata éstos y otros tipos):

f1 f1 ente-efe-uno es (idéntico a) ente-ge-uno (verdadero en el universo)
f1 g2 ente-efe-uno es ente-ge-dos (falso)
f1/ g2 ente-efe-uno no es ente-ge-dos (verdadero)
f1 [g] ente-efe-uno es algún ente-ge (verdadero)
(f) [g] todo ente-efe- es algún ente-ge, toda efe es ge (verdadero)
[f] [g] algún ente-efe es algún ente-ge, alguna efe es ge (verdadero)
[g] (f) algún ente-ge es todo ente-efe (falso).

Ahora bien, para reducir una oración general a su análisis, Alonso emplea un procedimiento llamado “descenso” y para formar una oración general a partir de su análisis, emplea el “ascenso” o “inducción”. Más aun, define las varias clases de oraciones generales según los tipos de descenso/ascenso que son válidos de ellas. Y porque una oración es verdadera si y sólo si lo es su análisis en el sentido de que las condiciones de su verdad son las mismas, se trata de una interpretación extensional en sentido estricto.
La regla que permite la deducción de un análisis conjuntivo de una oración más general se llama, para Alonso, “descenso conjuntivo” y una que permite la deducción de un análisis disyuntivo de una oración más general se llama “descenso disyuntivo” (también hay reglas para el ascenso). Damos el análisis de una oración universal, “(f) [g]”, y particular, “[f] [g]”:

1

(f) [g]

 

hipótesis

2

f1 [g] & f2 [g]

1

descenso conjuntivo

3

f1 [g]

2

elim. de la conj.

4

f1 g1 ˅ f1 g2 ˅ f1 g3

3

descenso disyuntivo

5

f2 [g]

1

elim. de la conj.

6

f2 g1 ˅ f2 g2 ˅ f2 g3

5

descenso disyuntivo

7

[f1 g1 ˅ f2 g2 ˅ f1 g3] &

4, 6

intro. de la conj.

8

[f2 g1 ˅ f2 g2 ˅ f2 g3]

 

 

La oración universal (paso 1) es verdadero si y sólo si su análisis (paso 7) es verdadero, pues si toda efe es ge, entonces “f1g1” y “f2g2” lo son y por ende el paso 1 — y si “f1g1” y “f2g2” son verdaderos, el paso 1 es verdadero.

1

[f] [g]

 

hipo.

2

f1 [g] ˅ f2 [g]

1

desc. disy.

3

f1 [g]

 

hipo.

4

f1 g1 ˅ f1 g2 ˅ f1 g3

3

desc. disy.

5

[f1 g1 ˅ f1 g2 ˅ f1 g3] ˅

 

 

 

[f2 g1 ˅ f2 g2 ˅ f2 g3]

4

intro. de la disy.

6

f1 [g]

 

hipo.

7

f2 g1 ˅ f2 g2 ˅ f2 g3

6

desc. disy.

8

[f1 g1 ˅ f1 g2 ˅ f1 g3] ˅

 

 

 

[f2 g1 ˅ f2 g2 ˅ f2 g3]

7

intro. de la disy.

9

[f1g1 ˅ f1 g2 ˅ f1 g3] ˅

 

 

 

f2 g1 ˅ f2 g2 ˅ f2 g3]

2, 3-5, 6-8

elim. de la disy.

La oración particular (paso 1) es equivalente a su análisis (paso 9), porque es verdadero justamente cuando es verdadero al menos un disyuntivo del paso 9, y al revés.
Tenemos, pues:
(f) ≡ [[f1 g1 ˅ f1 g2 ˅ f1 g3] & [f2 g1 ˅ f2 g2 ˅ f3 g3]
[f] [g] ≡ [[f1 g1 ˅ f1 g2 ˅ f1 g3] ˅ [f2 g1 ˅ f2 g2 ˅ f2 g3].

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