Skolem's Paradox and Platonism

Resumen

En un trabajo recientemente publicado en esta revista, Francisco Miró Quesada afirma que todas las filosofías de la matemática elaboradas hasta ahora, incluyendo el platonismo y el intuicionismo, resultan insostenibles. Discutimos aquí solamente su argumento en contra del platonismo por la razón de que en la actualidad la posición platónica es generalmente mejor conocida que la intuicionista.

La prueba que ofrece Miró Quesada depende casi por completo de la llamada Paradoja de Skolem. Su argumento es, de hecho, el argumento de Skolem: la paradoja muestra que las axiomatizaciones de primer orden no son aptas para caracterizar de manera única nociones de teoría de conjuntos y, por ende, que no hay ninguna noción particular de teoría de conjuntos que resulte privilegiada. Obviamente, el argumento presupone que estas nociones están implícitamente definidas por los axiomas. Ahora bien, desde un punto de vista platónico, los axiomas tienen por objeto solamente describir nociones dadas; por tanto, su inadecuación no constituiría prueba alguna contra el platonismo. Si los conjuntos existen independientemente de que los comprendamos, no es de extrañar la imposibilidad de describir todas sus propiedades en un lenguaje tan pobre como el lenguaje de primer orden de teoría de conjuntos. En segundo lugar, el argumento parece hacer caso omiso del hecho de que para una postura platónica las axiomatizaciones de primer orden no tienen un papel especial que jugar dado que las nociones de consecuencia de primer orden, y de órdenes superiores, se definen en términos de las mismas nociones básicas de teoría de conjuntos.

La idea subyacente al argumento de Skolem es la concepción abstracta de las matemáticas que no acepta la existencia de una noción intuitiva básica de conjunto y considera a la teoría de conjuntos como una teoría abstracta, en el sentido de las teorías algebraicas: la noción de conjunto se halla implícitamente definida por los axiomas de primer orden de Zermelo-Fraenkel así como la noción de grupo está implícitamente definida por los axiomas de primer orden de la teoría de grupos. Así pues, cualquier noción de teoría de conjuntos es relativa a una estructura dada la cual es un modelo de los axiomas. Desde esta perspectiva tenemos que la definibilidad no única de estructuras infinitas mediante fórmulas del lenguaje de primer orden de teoría de conjuntos es solamente un rasgo distintivo que resulta verdadero de las axiomatizaciones de primer orden.

A manera de poner en evidencia la implausibilidad de esta concepción, notemos simplemente que resulta circular asumir que las nociones de teoría de conjuntos son relativas a estructuras dadas, pues, la noción de estructura está definida a su vez en términos de las nociones básicas de teoría de conjuntos. En segundo lugar, esta postura ignora el hecho de que las axiomatizaciones de teorías algebraicas abstractas nunca se hicieron con el objeto de formular propiedades de nociones intuitivas básicas. La existencia de modelos no isomórficos para las teorías algebraicas no sólo no proporciona nueva información acerca de las propiedades de las nociones subyacentes, sino que incluso constituye un prerequisito que aquéllos deben satisfacer.

La circularidad básica del argumento de Skolem en contra del platonismo consiste en el hecho de que al rechazar la existencia de una noción básica de conjunto y considerar los axiomas de primer orden de Zermelo-Fraenkel como una definición de conjunto, toma las limitaciones de los axiomas como una prueba de que no existe una noción básica de conjunto. Por otro lado, si se acepta la existencia de una noción básica de conjunto, hay una fórmula en el lenguaje de segundo orden de teoría de conjuntos que define de manera única hasta el más pequeño segmento de la llamada estructura tipo, la cual es un modelo de los axiomas de primer orden de Zermelo-Fraenkel. Sin embargo, tal definibilidad única no se extiende a toda la estructura tipo: esta es una consecuencia del teorema de Tarski sobre la verdad. Ahora bien, desde un punto de vista platónico el interés primordial en las definiciones únicas reside en el hecho de que proporcionan una reducción directa de la estructura definida a las nociones primitivas del lenguaje de la definición. Por tanto, si queremos considerar entidades tales como la estructura tipo como un sólo objeto matemático, no hay más que una manera: expandiendo el lenguaje de teoría de conjuntos mediante la introducción de símbolos para nuevas nociones primitivas tales como la noción de propiedad intensional.