The Paradox of Addition and Its Dissolution

Resumen

Algunos sistemas de lógica modal y de lógica deóntica contienen una regia de adición semejante a la del cálculo proposicional. En el caso de los imperativos dicha regia se expresaría de la siguiente manera: “La obligación de p implica la obligación de p o la obligación de q". Esta regla da lugar a una paradoja que puede lIamarse la paradoja de la adición. Esta paradoja no es peculiar a las modalidades 0 a los imperativos; aparece también en la lógica extencional, en donde la regia de la adición se expresa así: "p implica p 0 q" donde q es un enunciado arbitrariamente escogido. Esta regia podria servir para probar 0 refutar cualquier cosa.
Este sinsentido no es sólo una cuestión de sintaxis: el principio de adición es válido con una calificación que se Ie hará mas adelante. No se trata de reinterpretar la disyunción ni el condicional mismo, Lo que esta en juego son los ingredientes extralógicos de los enunciados en cuestión, esto es, los predicados no-lógicos que aparezcan en p y q. A menos que estos se hagan homogéneos y que por lo tanto el universo del discurso se cierre, las paradojas de la adición pueden aparecer.
Los sistemas y teorías no-lógicos deberían exhibir no solo una unidad formal sino también una unidad semántica. He examinado en otro artículo cuatro factores de la unidad semántica: la unidad de referencia, la homogeneidad semántica de los predicados, la clausura semántica y la conexión conceptual.
El principio de la adición debería reformularse de la siguiente manera: "A partir de p infiérase p o q siempre que los predicados extralógicos que aparezcan en q se puedan aplicar a los individuos a los que se refiere p". De manera similar en la lógica modal y en la lógica deóntica: “La necesidad (obligaciós] de p implica la necesidad (obligación] de q siempre que los predicados extralógicos que aparezcan en q puedan aplicarse a los individuos a los que se refiere p". De no observarse esta restricción pueden surgir sinsentidos.
Los cuatro factores de la unidad semántica antes mencionados están automáticamente asegurados en teorías axiomáticas. Aquí el universo del discurso y los predicados están determinados de antemano y no hay ninguna posibiIidad de introducir elementos ajenos en ninguno de los dos conjuntos en una etapa posterior. De aquí la seguridad de las inferencias practicadas dentro de sistemas axiomáticos.
En conclusión, (a) la paradoja de la adición para necesidades y obligaciones encuentra su contraparte en la lógica extensional; (b) ninguna de estas paradojas ocurre normalmente, sólo ocurre en casos en que se suspende tácitamente el principio de la unidad semántica ; (c) se evitan sistemáticamente al trabajar en teorías axiomáticas.