El universo del discurso

Resumen

El presente es un artículo en el que se discute, de manera crítica, el status, dentro de la lógica, del universo vacío en particular y de los universos de discurso en general. La discusión se centra alrededor de la posición de Quine a este respecto.
I
De manera preliminar se enfatiza la utilidad que tienen las fórmulas-esquemas en lógica en tanto que las mismas pueden convertirse en enunciados significativos. Las fórmulas representan la forma de los enunciados que de ellas pueden obtenerse mediante una interpretación que se caracteriza como la asignación uniforme de un sustituto significativo a cada letra esquemática de la fórmula-esquema así como un objeto como referencia a cada una de sus variables libres.
Se define la validez de una fórmula-esquema de la siguiente manera: una fórmula-esquema es válida sólo en caso de que sea verdadero todo enunciado que tenga la forma representada por el esquema. O bien, esto mismo, en términos de interpretación: una fórmula-esquema es válida sólo en caso de que toda interpretación uniforme de la misma tenga como resultado un enunciado verdadero. Esta caracterización de interpretación y la definición de validez se contrastan con las que se ofrecen en términos de conjuntos, en donde una interpretación no consiste en asignar significados a las letras esquemáticas del esquema, sino extensiones (un valor a cada letra oracional, un conjunto a cada letra de predicado gonádico, un conjunto de pares ordenados a cada letra esquemática diádica, etc.).
Ahora bien, si se acepta la versión extensional y se insiste en mantener que la interpretación de una letra esquemática es algún conjunto, los diferentes significados asociados a esa extensión deben ser irrelevantes para propósitos lógicos. Pero entonces se tendría el resultado inaceptable de que, suponiendo que “Creatura con corazón” y “Creatura con riñones” tienen la misma extensión, “toda creatura con corazón es creatura con riñones” tiene la forma “(x) (Fx ⊃ Fx)”. Con esto se concluye que una interpretación se determina no por la extensión, sino por la forma como ésta se especifica.
Otro inconveniente de una interpretación extensional conjuntista es que la lógica es un estudio mucho más básico que la teoría de los conjuntos. De aquí que una definición de validez en términos de interpretación significativa ha de preferirse a una interpretación en términos de conjuntos.
Dejando atrás estos preliminares, se señala que en una interpretación extensional conjuntista el universo de discurso ha de precisarse de antemano para evitar que una clase o su complemento no sean conjuntos; el complemento de un conjunto, en este caso, será siempre relativo al (subconjunto del) conjunto que se asigne como universo de discurso. Pero esta relatividad (limitación) no se tiene en múltiples enunciados del lenguaje ordinario a los que deseamos aplicar la lógica y que se expresan de manera absoluta, no relativa. Por otra parte, también se añade la restricción de que los universos de discurso han de ser conjuntos no vacíos. Para fundar esto se ofrece como razón (Quine) que de aceptarse el conjunto vacío tendríamos que renunciar a ciertas leyes lógicas. Pero de esto se sigue, entonces, que ciertas leyes lógicas son tales sólo por motivos extralógicos. En cambio, esto no sucede si entendemos las nociones de interpretación y de validez en términos de verdad y significado conforme a las definiciones apuntadas en un principio.
II
Una motivación más familiar que la anterior para introducir universos de discurso en lógica es que, conforme a Quine, mediante su introducción podemos reducir en uno el número de términos requeridos en un esquema. De esta manera se simplifican los esquemas y su manejo. Ahora bien, conforme a esta versión, la especificación de un universo de discurso sería conveniente tanto para una interpretación conjuntista como para una como la aquí propuesta en términos de significado. Pero los mismos problemas que surgían previamente acerca de la interpretación conjuntista propuesta en I, vuelven aquí a surgir: (1) hay esquemas como “(x)Fx” que nos gustaría interpretar como universales sin limitación, en lugar de hacerlo dentro de un universo limitado; (2) no es grato introducir nociones de teoría de los conjuntos en los fundamentos de la lógica; (3) se pretende, una vez más, excluir el significado a favor de la extensión y existe la posibilidad de designar un conjunto en más de una forma y (4) una vez más se presenta el problema del universo vacío: ¿hemos de excluirlo al definir la validez? Y, si así lo hacemos, ¿por qué? Quizás se podrían eliminar los tres primeros problemas hablando, en lugar de conjuntos, de términos y atributos, pero sería preciso preguntarse si este término o atributo ha de ser ejemplificado por algo. Quine, a esto, parece responder que sí y así parecería ser que un problema lógico (validez) ha de resolverse mediante métodos extralógicos (nuestro conocimiento de si el universo es o no vacío).
El problema se presentaría, p.e. en el caso de la fórmula-esquema “(x) Fx ⊃ (∃x) Fx” o del argumento esquema correspondiente, a saber

(x)Fx
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(∃x) Fx
el que, se dice, es válido sólo en universos no vacíos. Pero a la conclusión a la que se llega es que lo anterior sólo quiere decir que el argumento es válido pero no así su contraparte formal completa. Esto es, la contraparte formal completa de tal argumento sería

(x (Gx ⊃ Fx
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(∃x) (Gx & Fx)

Donde “G” es una letra de predicado gonádico que especifica al conjunto en el que ha de darse la interpretación. Ahora bien, al introducir un universo de discurso, no tenemos ya que especificar el conjunto sobre el que se va a dar la interpretación, pues asumimos que todos los individuos a los que hacemos referencia son elementos de ese universo y así podemos pasar al argumento esquema considerado aquí en primer lugar.
Es claro que la invalidez del argumento esquema completo se puede eliminar añadiendo la premisa “(∃x) Gx” y este procedimiento se puede generalizar de la siguiente manera: lo que se denomina “interpretar un argumento esquema en un universo limitado de discurso” es tanto como tratar al esquema como representante de lo que podríamos llamar su correspondiente “forma aumentada completa”. Esta última se obtiene remplazando las premisas y la conclusión por sus formas completas correspondientes (esto es lo que se encuentra implícito al interpretar cada una de ellas por separado en el universo limitado), y añadiendo las premisas “Gz1”, “Gz2”, etc. por cada variable “z1”, “z2”, etc., que aparezca libre en la conclusión pero no en alguna premisa, y añadiendo también la premisa “(∃x) Gx” si la conclusión es existencial y ninguna de las premisas es existencial o singular. Entre el argumento esquema original y su forma aumentada completa hay una correspondencia total: uno es válido si y sólo si el otro lo es. A este argumento esquema completo se dará una interpretación significativa (no conjuntista), de la manera señalada en I.
Concluyo, pues, que el artificio de suprimir un término y así obtener esquemas de manipulación más simple puede entenderse muy bien sin hacer referencia a los llamados “universos de discurso”.