Extensionality and Propositional Identity

Resumen

1. La falacia del extensionalismo. Algunos lógicos han intentado simplificar sus sistemas diciendo que si las oraciones S1 y S2 tienen el mismo valor veritativo, entonces dos oraciones compuestas arbitrarias que sólo difieren en que una contiene S1 donde la otra contiene S2 deben tener el mismo valor veritativo también. Si esta “ley de extensionalidad” fuera cierta, y “x cree que el pasto es rosado” y “x cree que el pasto es púrpura” fueran compuestos genuinos con “el pasto es rosado” y “el pasto es púrpura” como componentes, entonces ambos compuestos tendrían que tener el mismo valor veritativo, puesto que los correspondientes componentes son ambos falsos. No siendo necesariamente así, concluyen que “x cree que el pasto es rosado” no es un compuesto genuino, con “el pasto es rosado” como componente; técnicamente, que no es una función genuina con “el pasto es rosado” como argumento. Mi conclusión, en cambio, es que la ley de la extensionalidad es falsa, y sólo vale en un área específica de la teoría lógica.

Suele argumentarse que si esta ley es falsa entonces debemos admitir que algunas proposiciones no son verdaderas ni falsas. El argumento es el siguiente: (a) Si todas las proposiciones son verdaderas o falsas, sólo puede haber cuatro funciones proposicionales para cada argumento proposicional; (b) para cada una de estas funciones se cumple que si p y q tienen el mismo valor veritativo, entonces esa función de p tendrá el mismo valor veritativo que esa función de q; por lo tanto, (c) si alguna función no obedece a la ley de extensionalidad no puede ser ninguna de las cuatro mencionadas, y si hay otras funciones además de ellas, entonces debe haber más posibles valores veritativos que las generen.
Pero el argumento queda invalidado al observarse que presupone lo que pretendo probar: que el único rasgo de p del cual puede depender el valor veritativo de cualquier función de p es el propio valor veritativo de p; pues la lista de posibles funciones no incluye ninguna que, por ejemplo, sea verdadera para algunos argumentos verdaderos y falsa para otros argumentos verdaderos, como es el caso de “x cree que p”. ¿Pero por qué diablos el valor veritativo de una función de p no puede depender de algún rasgo de p que no sea su valor veritativo? Que se dé o no el caso de que x cree que p no depende de si se da o no el caso de que p, sino de si p es creído o no por x.

2. La teoría de Frege sobre funciones y valores. El villano de esta obra es quizás Gottlob Frege, y el origen de la confusión se halla quizás en su invención del término “truth-value” (valor veritativo). Según él las oraciones denotan objetos llamados Verdad y Falsedad, del mismo modo que los numerales, y las fórmulas que los contienen, denotan números. Y así como el número denotado por una expresión funcional numérica sólo depende del número denotado por su argumento, el valor veritativo denotado por una función oracional sólo debe depender —según Frege— del valor veritativo denotado por la oración que le sirve de argumento.
Pero el paralelismo establecido por Frege no es válido. La verdad y la falsedad se asemejan más a propiedades de lo denotado por las oraciones que a las cosas mismas denotadas por ellas. Y, ciertamente, no son la denotación de las oraciones; pues en rigor las oraciones no denotan nada, y las proposiciones son cosas-con-propiedades sólo en un sentido Pickwickiano. Pero podemos formular este sentido de una manera precisa, y usar la locución sobre cosas-con-propiedades de un modo inocuo. Lo mismo vale para los números, que tampoco son cosas-con-propiedades. Por ejemplo, si decimos que 1 es mayor que 0, lo que queremos decir es que para cualquiera ψ y φ, si exactamente una cosa es φ y ninguna es ψ, entonces hay más cosas que son φ que cosas que son ψ. Y hay innumerables cosas que podemos “decir acerca de las proposiciones”, en el sentido en el que podemos decir acerca de ellas que son verdaderas o falsas, así como hay innumerables cosas que podemos “decir acerca de los números” en el sentido en que podemos decir acerca de ellos que son o no mayores que 0.

Frege mismo sabía que hay más cosas que decir acerca del funcionamiento de las oraciones, además de que denotan la Verdad o la Falsedad, pues hablaba también del “sentido” de las oraciones, y reconocía la existencia de funciones genuinas del sentido de las oraciones. Por ejemplo, “X cree que el pasto es rosado” sería una función del sentido de “el pasto es rosado”. Pero esto es introducir una dicotomía donde no hay ninguna. Las funciones veritativas y las funciones de creencia son funciones de los mismos argumentos.
Debemos agregar, sin embargo, que aunque es equívoco hablar de las oraciones como denotando valores de verdad en el sentido en que los nombres propios denotan individuos, es muy iluminador decir que los valores veritativos son la “extensión” de las oraciones, así como las clases son la extensión de los predicados. Trazaremos este paralelo luego que hayamos dicho algo sobre la identidad proposicional, pero podemos adelantar que parte de este paralelo consiste en el hecho de que ni los valores veritativos ni las clases son objetos genuinos, sino sólo “construcciones lógicas”, y muy similares.

3. Equivalencia e identidad proposicional. El extensionalismo puro (no mitigado por la distinción fregeana entre sentido y denotación) iguala la identidad de lo que las oraciones significan con la identidad de sus valores veritativos, es decir, son su “equivalencia material”. Pues lo que los extensionalistas dicen acerca de la equivalencia material —que todas las funciones de oraciones materialmente equivalentes son materialmente equivalentes— es realmente cierto de la identidad de significado, o, en otros términos, de la identidad de las proposiciones que las oraciones expresan. Si la proposición de que p es realmente la misma que la proposición de que q, entonces cualquier función de la proposición de que p es la misma proposición que esa función de la proposición de que q. Por ej., si la proposición de que todos los solteros son casados es realmente la misma que la proposición de que todos los no casados son no casados, entonces la proposición de que Juan se pregunta si todos los solteros son no casados es la misma proposición de que Juan se pregunta si todos los solteros son no casados es la misma proposición que Juan se pregunta si todos los no casados son no casados.

Puede objetarse que hablar de identidad proposicional nos obliga a abandonar la idea de que las proposiciones son construcciones lógicas y a tratarlas como objetos genuinos. Como la cuantificación, la identificación implicaría un ‘compromiso ontológico’ no deseado, en este caso son proposiciones. Pero no es así.

Escribimos “Ipq” en lugar de “La proposición de que p es la misma que la proposición de que q”. Los nombres aparentes “La proposición de que p” y “la proposición de que q” no figuran en el complejo Ipq; en la versión verbal, estos nombres aparentes pueden ser considerados como careciendo de significado o función fuera del complejo

(1) “La proposición de que —es la misma que la proposición de que—”, que abreviamos con “I— —”, y donde los blancos están en lugar de oraciones y no de nombres. La forma guarda una exacta analogía con

(2) “La proposición de que —implica la proposición de que—” que es sólo un modo de escribir

(3) “si —entonces—”,
donde tales nombres aparentes no figuran. La única diferencia consiste en que no disponemos de una forma conversacional análoga a (3) que nos permita traducir (1) pero ello es sólo un accidente lingüístico.

Las leyes principales de identidad proporcional son Ipp, y la mencionada antes, según la cual todas las funciones de proposiciones idénticas son idénticas. Escribiendo C α β en lugar de “Si α entonces β” y usando d como una variable de expresiones que forman una oración a partir de otras, podemos formular esta segunda ley como CIpqIdpdq.

Puede objetarse esta ley sobre la base de que es plausible decir que la proposición de que todos los solteros son no casados es la misma que la proposición de que todos los no casados son no casados, y sin embargo que la proposición de que Juan se pregunta si todos los solteros son no casados no es la misma que la proposición de que Juan se pregunta si todos los no casados son no casados. Este tipo de objeciones dependen, sin embargo, de una confusión entre preguntarse si todos los solteros son no casados, y preguntarse si lo expresado por la oración “Todos los solteros son no casados” es verdadero. Y por ‘preguntarse si lo que es expresado por la oración “Todos los solteros son no casados” es verdadero’, no quiero decir lo mismo que preguntarse, con respecto a lo que es expresado por la oración “Todos los solteros son no casados”, si es verdadero; pues esto es lo mismo que preguntarse si todos los solteros son no casados. Estoy refiriéndome, en cambio, al hecho de preguntarse, con respecto a la oración “Todos los solteros son no casados”, si lo que expresa es verdadero. Y alguien puede preguntarse esto sin preguntarse, con respecto a la oración “Todos los no casados son no casados”, si lo que expresa es verdadero. Pues alguien podría no saber que la oración “Todos los solteros son no casados” significa simplemente que todos los no casados son no casados.

4. La objeción referente a las expresiones con comillas. Si en la fórmula CIpqIdpdq, la variable d representa cualquier expresión que forma oraciones a partir de oraciones, entonces es posible presentar una objeción más sustancial a la mencionada ley. Pues un modo de formar una oración a partir de la oración “Todos los solteros son no casados” es encerrarla entre comillas y prefijar al resultado de la expresión “Juan pronunció la oración”; o sea que “Juan pronunció la oración ‘- - -’ ” es una expresión que forma oraciones a partir de oraciones, entendiéndose que las comillas internas son parte de esa expresión misma. Pero es evidente que la proposición de que Juan pronuncia la oración “Todos los solteros son no casados” no es la misma que la proposición que Juan pronunció la oración “Todos los no casados son no casados”.

No se evita esta objeción diciendo, por ejemplo, que CIpqIdpdq sólo vale cuando la expresión representada por d no termina con comillas. Pues (a) hay expresiones que no terminan con comillas y a las cuales la ley no es aplicable; y (b) hay expresiones que terminan del modo indicado y que, sin embargo, se ajustan a la ley.

Para salvar la ley de identidad proposicional se requiere otro tipo de consideraciones. Aun como parte de un cálculo formalizado, la fórmula CIpqIdpdq, al igual que cualquier otra fórmula que expresa una ley lógica, puede usarse para decir algo. Más exactamente, lo que puede usarse así es su “clausura” o sea
(1) πpπqπd CIpqIdpdq,
o en semiespañol:
(2) Para toda p, para toda q, para toda d, si la proposición de que p es la misma que la proposición de que q, entonces si dp entonces dq.
Y estas leyes no se usan en lógica para decir algo acerca de oraciones o expresiones. (2) puede ser ejemplificada parcialmente por
(3) Para toda p, para toda q, si la proposición de que p es la misma que la proposición de que q, entonces si alguien resuelve que p entonces alguien resuelve que q, lo cual, a su vez, puede ser ejemplificado por:
(4) Si la proposición de que a todos los solteros se les aplica una multa de 20 libras es la misma que la proposición de que a todos los no casados se les aplica una multa de 20 libras, entonces si alguien resuelve que a todos los solteros se les aplica una multa de 20 libras, entonces alguien resuelve que a todos los no casados se les aplica una multa de 20 libras.
Lo que se quiere decir con (1) y (2) sólo tiene este tipo de ejemplificaciones. No contamos como tales los casos en los que las oraciones más largas no son acerca de lo mismo que las oraciones más pequeñas, sino acerca de estas oraciones mismas; la razón es que lo significado por (1) y (2) es algo que no posee tales ejemplificaciones.

5. Valores veritativos y clases. Diremos primero algo sobre lo que realmente significa hablar acerca de clases. La forma más elemental de un enunciado que habla ostensiblemente acerca de clases es la de un enunciado que dice que algo es un miembro de ella, o sea un enunciado de la forma “x es un φ” (x is a φ-er) o “x es un miembro de la clase de los φ” (x is a member of the class of the φ-ers). Pero este enunciado es sólo ostensiblemente acerca de una clase, pues equivale a “x es φ” (x φ’s). Y el enunciado “La clase de los φ está incluida en la clase de los ψ” significa simplemente “Todo lo que es φ es ψ” (Whatever φ’s ψ’s).

La cuestión se complica cuando deseamos contar clases y propiedades. Decir que exactamente un individuo es φ, es decir, que para algún x, x es φ, y para x e y cualesquiera, si x es φ e y es φ, entonces x es el mismo individuo que y. Y el enunciado: “Prior y Quine coinciden en exactamente una cosa” se transforma en:

Para algún p, Prior y Quine creen que p, y para p y q cualesquiera, si Prior y Quine creen que p, y Prior y Quine creen que q, entonces la proposición de que p es la misma que la proposición de que q,
donde la última cláusula debe entenderse del modo indicado en la última sección. Y la forma: “La propiedad de ser φ es la misma que la propiedad de ser ψ” (The property of φ-ing is the same as...), o, más brevemente: “Ser φ es lo mismo que ser ψ (To φ is the same thing as to ψ), puede interpretarse como construida a partir de las expresiones “ser φ” y “ser ψ” mediante un functor binario del mismo tipo que “Todo lo que es ( ) es ( )”. El componente “La propiedad de ser ( )” no debe entenderse como formando un nombre a partir de la expresión que va dentro de los paréntesis sino como parte inseparable de todo el functor, de modo que el uso de esta forma no nos compromete a aceptar la existencia de propiedades. Entendido esto, el enunciado: “Hay exactamente una propiedad que no se aplica a nada” se transforma en: Para algún φ, nada es φ, y, para φ y ψ cualesquiera, si nada es φ y nada es ψ, entonces ser φ es la misma cosa que ser ψ.

Por supuesto, esto es falso: ser una sirena no es lo mismo que ser un centauro. Pero, por otra parte, la clase de las sirenas es la misma que la de los centauros. Es conveniente hablar como si las clases fueran entidades, las cuales son idénticas cuando los predicados que las definen se aplican a los mismos objetos, o sea cuando todo lo que es φ es ψ y todo lo que es ψ es φ. Los predicados binarios pueden ser asociados análogamente con “relaciones en extensión”. Y cuando φ y ψ son “predicados de grado cero”, o sea proposiciones completas, podemos decir que sus extensiones son idénticas cuando se cumple que φ es formalmente equivalente a ψ. Y esto ocurre cuando y sólo cuando o bien se dan tanto φ como ψ, o bien no se da φ ni ψ. De modo que acuñamos el término “valor veritativo” para lo que describimos como idéntico cuando se cumplen las condiciones mencionadas. Pero debemos recordar, en todos los casos, que los supuestos sobre identidad no significan ni más ni menos que el enunciado de tales condiciones.

Estos usos extraños de la expresión “el mismo”, y la invención de entidades a las que se apliquen, son sumamente convenientes desde el punto de vista simbólico, pero no comprender adecuadamente el funcionamiento de estos artificios es filosóficamente desastroso. Por ejemplo, está de moda considerar que no tenemos derecho a hablar de la identidad de esto o aquello a menos que podamos formular las “condiciones de identidad” de las entidades en cuestión. Esta exigencia resulta razonable cuando estamos embarcados, como antes, en procedimientos de abstracción extensional, o sea cuando realmente no está en juego en absoluto la identidad, y cuando por lo tanto es necesario explicar qué sustituto de ella estamos empleando; pero en la mayor parte de los casos esta exigencia carece de sentido (como la cuantificación, la identidad es lo que es y no otra cosa). El error al que se dedica principalmente este artículo, o sea el tratamiento de los valores veritativos como los denotata de las oraciones y la confusión entre identidad proposicional y equivalencia material, es un caso especial de este error más general.